Kirchhoff pravila

Iz Wikipedije, slobodne enciklopedije

Idi na navigaciju Idi na pretragu
Klasična elektrodinamika
VFPt solenoid ispravan2.svg
Električni magnetizam
Vidi također: Portal: Fizika

Kirchhoffova pravila (koja se u tehničkoj literaturi često nazivaju Kirchhoffovi zakoni ) su omjeri koji su ispunjeni između struja i napona u dijelovima bilo kojeg električnog kruga .

Rješenja sustava linearnih jednadžbi temeljenih na Kirchhoffovim pravilima omogućuju pronalaženje svih struja i napona u električnim krugovima istosmjerne, izmjenične i kvazistacionarne struje [1] .

Oni su od posebne važnosti u elektrotehnici zbog svoje svestranosti, jer su prikladni za rješavanje mnogih problema u teoriji električnih krugova i praktičnih proračuna složenih električnih krugova.

Primjena Kirchhoffovih pravila na linearni električni krug omogućuje dobivanje sustava linearnih jednadžbi za struje ili napone i, sukladno tome, pri rješavanju ovog sustava pronalaženje vrijednosti struja na svim granama kruga i svim međučvorovima naponi.

Formulirao Gustav Kirchhoff 1845. [2] .

Naziv "Pravila" je točniji jer ova pravila nisu temeljni zakoni prirode, već slijede iz temeljnih zakona održanja naboja i irotacije elektrostatičkog polja ( Maxwellova treća jednadžba s konstantnim magnetskim poljem). Ova pravila ne treba miješati s još dva Kirchhoffova zakona u kemiji i fizici .

Formuliranje pravila

Definicije

Za formulaciju Kirchhoffovih pravila uvode se pojmovi čvora , grane i kruga električnog kruga . Grana je dio električnog kruga s istom strujom, na primjer, na Sl. segment označen s R 1 , I 1 je grana. Čvor je točka spajanja tri ili više grana (na slici su označene podebljanim točkama). Kontura je zatvoreni put koji prolazi kroz nekoliko grana i čvorova razgranatog električnog kruga. Pojam zatvorene staze znači da se, počevši od određenog čvora lanca i prolaze kroz nekoliko grana i čvorova odjednom, možete se vratiti na izvornu čvor . Grane i čvorovi koji se prijeđu tijekom takvog obilaska obično se nazivaju pripadajućim zadanoj konturi. Treba imati na umu da grana i čvor mogu istovremeno pripadati nekoliko kontura.

U smislu ovih definicija, Kirchhoffova pravila su formulirana na sljedeći način.

Prvo pravilo

Koliko struje teče u čvor, toliko teče iz njega.
i 2 + i 3 = i 1 + i 4

Prvo Kirchhoffovo pravilo kaže da je algebarski zbroj struja grana koje konvergiraju u svakom čvoru bilo kojeg lanca jednak nuli. U ovom slučaju, struja usmjerena prema čvoru smatra se pozitivnom, a ona usmjerena iz čvora negativnom: Algebarski zbroj struja usmjerenih prema čvoru jednak je zbroju struja usmjerenih iz čvora.

Drugim riječima, koliko struje teče u čvor, toliko teče iz njega. Ovo pravilo proizlazi iz temeljnog zakona održanja naboja .

Međutim, u izračunima treba imati na umu da je ovo pravilo primjenjivo samo u slučaju zanemarivog kapaciteta čvora. Inače se može povrijediti prvo pravilo, što je posebno vidljivo kod visokofrekventnih struja.

Drugo pravilo

Drugo Kirchhoffovo pravilo (Kirchhoffovo pravilo napona) kaže da je algebarski zbroj napona na otpornim elementima zatvorene petlje jednak algebarskom zbroju EMF-a uključenog u ovu petlju. Ako u krugu nema EMF izvora (idealiziranih generatora napona), tada je ukupni pad napona nula:

za konstantne napone
za izmjenične napone

Ovo pravilo slijedi iz 3. Maxwellove jednadžbe, u posebnom slučaju stacionarnog magnetskog polja.

Drugim riječima, s potpunim zaobilaženjem konture, potencijal se, mijenjajući, vraća na svoju izvornu vrijednost. Poseban slučaj drugog pravila za krug koji se sastoji od jednog kruga je Ohmov zakon za ovaj krug. Prilikom sastavljanja jednadžbe naprezanja za konturu, morate odabrati pozitivan smjer pomicanja konture. U ovom slučaju, pad napona na granama smatra se pozitivnim ako se smjer zaobilaznice ove grane podudara s prethodno odabranim smjerom struje grane, a negativnim - u suprotnom (vidi dolje).

Kirchhoffova pravila vrijede za linearne i nelinearne linearizirane krugove za bilo koju prirodu promjene vremena struja i napona.

Značajke sastavljanja jednadžbi za proračun struja i napona

Ako lanac sadrži čvorova, onda je opisano jednadžbe struja. Ovo pravilo se može primijeniti i na druge fizikalne pojave (na primjer, sustav cjevovoda tekućine ili plina s pumpama), gdje je ispunjen zakon održanja čestica medija i protoka tih čestica.

Ako lanac sadrži grane, od kojih su trenutni izvori sadržani u granama u iznosu , onda je opisano jednadžbe naprezanja.

  • Kirchhoffova pravila napisana za čvorovi ili konture kruga, daju potpuni sustav linearnih jednadžbi, koji vam omogućuje da pronađete sve struje i sve napone.
  • Prije sastavljanja jednadžbi potrebno je proizvoljno odabrati:
    • pozitivne smjerove struja u granama i označiti ih na dijagramu, dok nije potrebno osigurati da smjerovi struja u čvoru teku i izlaze, konačno rješenje sustava jednadžbi će i dalje dati ispravne predznake struja u čvoru;
    • Radi dosljednosti, preporuča se odabrati iste pozitivne smjerove pomicanja da bi sve konture bile iste (na primjer: u smjeru kazaljke na satu) za pozitivne smjerove pomicanja kontura za sastavljanje jednadžbi prema drugom zakonu.
  • Ako se smjer struje podudara sa smjerom zaobilaznice petlje (koji je odabran proizvoljno), pad napona se smatra pozitivnim, inače - negativnim.
  • Prilikom pisanja linearno neovisnih jednadžbi prema drugom Kirchhoffovom pravilu teži se da svaka nova kontura za koju se radi jednadžba sadrži barem jednu novu granu koja nije uključena u prethodne konture, za koje su jednadžbe već napisane prema drugi zakon ( dovoljan, ali ne i nužan uvjet ).
  • U složenim neplanarnim grafovima električnih krugova čovjeku je teško vidjeti nezavisne konture i čvorove, svaka nezavisna kontura (čvor), kada sastavlja sustav jednadžbi, generira drugu linearnu jednadžbu u sustavu linearnih jednadžbi koje definiraju problem. U teoriji grafova razvijeno je prebrojavanje broja neovisnih kontura i njihova eksplicitna indikacija u određenom grafu.

Primjer

Na ovoj slici, za svaku granu, prikazana je struja koja teče kroz nju (slovom "I") i napon između čvorova koje povezuje (slovom "U")

Broj čvorova: 3.

Broj grana (u zatvorenim krugovima): 4. Broj grana koje sadrže izvor struje: 0.

Broj kontura: 2.

Za krug prikazan na slici, u skladu s prvim pravilom, ispunjeni su sljedeći odnosi:

Imajte na umu da se za svaki čvor mora odabrati pozitivan smjer, na primjer, ovdje se struje koje teku u čvor smatraju pozitivnim, a izlazne - negativnim.

Rješenje dobivenog linearnog sustava algebarskih jednadžbi omogućuje određivanje svih struja čvorova i grana; ovaj pristup analizi kruga obično se naziva metoda struja petlje .

U skladu s drugim pravilom, istiniti su sljedeći omjeri:

Rezultirajući sustavi jednadžbi u potpunosti opisuju analizirani krug, a njihova rješenja određuju sve struje i sve napone grana. Ovaj pristup analizi kruga obično se naziva metodom nodalnog potencijala .

O vrijednosti za elektrotehniku

Kirchhoffova pravila su primijenjene prirode i omogućuju, uz i u kombinaciji s drugim tehnikama i metodama ( ekvivalentna metoda generatora , princip superpozicije , metoda izrade dijagrama potencijala), rješavanje elektrotehničkih problema. Kirchhoffova pravila našla su široku primjenu zbog jednostavnosti formulacije jednadžbi i mogućnosti njihovog rješavanja standardnim metodama linearne algebre ( Cramerova metoda, Gaussova metoda itd.).

Značenje u matematici

Prvo Kirchhoffovo pravilo može se formulirati u matričnom obliku. Naime, neka se električni krug sastoji od čvorovi. Sastavimo matricu , gdje na je vodljivost grane koja povezuje čvorove s brojevima i (ako nisu povezani, možete ih mentalno povezati s granom nulte vodljivosti). Pri čemu ... Neka Je li potencijal, koji smatramo funkcijom definiranom na skupu čvorova (ili, što je isto, vektorom v -dimenzionalni prostor ). Zatim, prema definiciji vodljivosti, imamo , gdje - struja u grani koja dolazi s vrha do vrha ... Stoga je prvo Kirchhoffovo pravilo za -ti čvor može se napisati kao , ili , ili, uzimajući u obzir definiciju dijagonalnih elemenata matrice, kao ... Na lijevoj strani jednakosti lako je saznati koordinatu umnoška matrice po vektoru stupca ...

Dakle, prvo Kirchhoffovo pravilo u matričnom obliku glasi:

...

U ovom obliku, može se generalizirati na vodljive površine. Na zakrivljenoj površini vodljivost ovisi ne samo o točki, već io smjeru. Drugim riječima, vodljivost je funkcija na tangentnim vektorima na površinu. Ako pretpostavimo da je na tangentnim prostorima dobro aproksimiran pozitivnim određenim kvadratnim oblikom, možemo o njemu govoriti kao o Riemannovoj metrici (koja se razlikuje od udaljenosti na površini kao geometrijski oblik koji uzima u obzir anizotropiju njegovih električnih svojstava). Svaka točka površine može poslužiti kao čvor, pa stoga potencijal više neće biti vektor, već funkcija na površini. Analog matrice vodljivosti je Laplace - Beltrami operator metričke vodljivosti, koja djeluje na prostor glatkih funkcija. Kirchhoffovo prvo pravilo za površinu je potpuno isto: ... Drugim riječima, potencijal je harmonijska funkcija .

U tom smislu, matrica povezan s proizvoljnim ponderiranim grafom , s izuzetkom dijagonale jednake matrici susjedstva , ponekad se naziva diskretnim Laplacianom . Analogi teorema o harmonijskim funkcijama, kao što je postojanje harmonijske funkcije u domeni s bridom za zadane vrijednosti na rubu, dobivene konvolucijom s određenom jezgrom, vrijede i za diskretne harmonijske funkcije. Suprotno tome, vodljiva površina može se aproksimirati mrežom otpora, a diskretne harmonijske funkcije na ovoj mreži aproksimiraju harmonijske funkcije na odgovarajućoj površini. Ova okolnost je osnova Gershgorinovog integratora , analognog računalnog stroja korištenog za rješavanje Laplaceove jednadžbe u 30-im - 70-im godinama XX. stoljeća.

U slučaju vodljive površine, umjesto razlike potencijala, ima smisla govoriti o 1-oblici ... Vektorsko polje povezano s njim pomoću metrike vodljivosti - a na ovoj površini postoji električna struja. Prema prvom pravilu Kirchhoffa, ovaj 1-oblik je također harmoničan (to jest, leži u jezgri Hodge Laplaciana , definiranog na diferencijalnim oblicima). To daje ključ kako ispravno formulirati Kirchhoffov zakon za slučaj kada polje nije potencijalno: naime, 1-forma dobivena iz struje koja se smatra vektorskim poljem, koristeći vodljivost, koja se smatra Riemannovom metrikom, mora biti harmonična. Poznavajući elektromotornu silu oko svake topološki netrivijalne konture na površini, moguće je obnoviti snagu i smjer struje u svakoj točki, štoviše, na jedinstven način. В частности, размерность пространства всевозможных токов равна размерности пространства топологически нетривиальных контуров. Этот факт был одним из оснований для открытия двойственности Пуанкаре ; то обстоятельство, что электродвижущие силы определяют однозначно ток (гармоническую 1-форму), является частным случаем теории Ходжа для 1-форм (теория Ходжа утверждает, что на римановом многообразии всякий класс когомологий де Рама представляется гармонической формой, притом только одной).

Закон излучения Кирхгофа

Закон излучения Кирхгофа гласит — отношение излучательной способности любого тела к его поглощательной способности одинаково для всех тел при данной температуре для данной частоты для равновесного излучения и не зависит от их формы, химического состава и проч.

Закон Кирхгофа в химии

Закон Кирхгофа гласит — температурный коэффициент теплового эффекта химической реакции равен изменению теплоёмкости системы в ходе реакции.

Примечания

Литература

  • Матвеев А. Н. Электричество и магнетизм : учебное пособие. — М. : Высшая школа, 1983. — 463 с.
  • Калашников С. Г. Электричество : учебное пособие. — М. : Физматлит, 2003. — 625 с.
  • Бессонов Л. А. Теоретические основы электротехники. Электрические цепи. — 11-е издание. — М. : Гардарики, 2007.
  • Герасимов В. Г., Кузнецов Э. В., Николаева О. В. Электротехника и электроника. Кн. 1. Электрические и магнитные цепи. — М. : Энергоатомиздат, 1996. — 288 с. — ISBN 5-283-05005-X .