Gaussov teorem

Iz Wikipedije, slobodne enciklopedije
Idi na navigaciju Idi na pretragu
Klasična elektrodinamika
VFPt solenoid ispravan2.svg
Električni magnetizam
Vidi također: Portal: Fizika

Gaussov teorem ( Gaussov zakon ) - jedan od osnovnih zakona elektrodinamike , uključen je u sustav Maxwellovih jednadžbi . Izražava odnos (naime, jednakost do konstantnog koeficijenta) između protoka jakosti električnog polja kroz zatvorenu površinu proizvoljnog oblika i algebarskog zbroja naboja koji se nalazi unutar volumena omeđenog ovom površinom. Koristi se zasebno za izračun elektrostatičkih polja.

Sličan teorem, također uključen u broj Maxwellovih jednadžbi, postoji i za magnetsko polje ( vidi dolje ).

Također, Gaussov teorem vrijedi za sva polja za koja su istovremeno istiniti princip superpozicije i Coulombov zakon ili njegov analog (na primjer, za Newtonovu gravitaciju). Štoviše, on je, kako se uobičajeno vjeruje, temeljniji od Coulombovog zakona, budući da omogućuje, posebice, da se stupanj udaljenosti [1] u Coulombovom zakonu izvede "iz prvih principa", a ne da se on postulira (ili ne da se pronađite empirijski).

U tome se vidi temeljni značaj Gaussovog teorema (Gaussovog zakona) u teorijskoj fizici.

Postoje analozi (generalizacije) Gaussovog teorema za složenije teorije polja od elektrodinamike.

Gaussov teorem za jakost električnog polja u vakuumu

Opća formulacija : Tok vektora jakosti električnog polja kroz bilo koju proizvoljno odabranu zatvorenu površinu proporcionalan je električnom naboju sadržanom u ovoj površini.

GHS SI

gdje

  • - tok vektora jakosti električnog polja kroz zatvorenu površinu ...
  • - ukupni naboj sadržan u volumenu koji omeđuje površinu ...
  • - električna konstanta .

Ovaj izraz je Gaussov teorem u integralnom obliku.

  • Napomena : tok vektora intenziteta kroz površinu ne ovisi o raspodjeli naboja (lokaciji naboja) unutar površine.

U diferencijalnom obliku, Gaussov teorem se izražava na sljedeći način:

GHS SI

Ovdje Je li volumetrijska gustoća naboja (u prisutnosti medija, ukupna gustoća slobodnih i vezanih naboja), i - operater nabla .

  • Gaussov teorem može se dokazati kao teorem u elektrostatici na temelju Coulombovog zakona i principa superpozicije ( vidi dolje ). Formula je, međutim, istinita i u elektrodinamici, iako u njoj najčešće ne djeluje kao teorem koji treba dokazati, već djeluje kao postulirana jednadžba (u tom smislu i kontekstu logičnije ju je nazvati Gaussovim zakonom [ 2] ).
  • U zakrivljenom prostor-vremenu, protok elektromagnetskog polja kroz zatvorenu površinu izražava se kao , gdje postoji brzina svjetlosti ; označava vremenske komponente tenzora elektromagnetskog polja ; je determinanta metričkog tenzora ; je ortonormirani element dvodimenzionalne površine koja okružuje naboj ; indeksi i ne odgovaraju jedno drugom. [3]

Gaussov teorem za električnu indukciju (električni pomak)

Za polje u dielektričnom mediju, Gaussov elektrostatički teorem može se napisati na drugi i drugi način (na alternativni način) - kroz tok vektora električnog pomaka (električna indukcija). U ovom slučaju, formulacija teorema je sljedeća: tok vektora električnog pomaka kroz zatvorenu površinu proporcionalan je slobodnom električnom naboju sadržanom u ovoj površini:

GHS SI

U diferencijalnom obliku:

GHS SI

Gaussov teorem za magnetsku indukciju

Tok vektora magnetske indukcije kroz bilo koju zatvorenu površinu jednak je nuli:

ili u diferencijalnom obliku

To je ekvivalentno činjenici da u prirodi nema "magnetskih naboja" ( monopola ) koji bi stvarali magnetsko polje, kao što električni naboji stvaraju električno polje [6] . Drugim riječima, Gaussov teorem za magnetsku indukciju pokazuje da je magnetsko polje (potpuno) vrtložno .

Gaussov teorem za Newtonovu gravitaciju

Za jačinu polja Newtonove gravitacije (ubrzanje gravitacije) Gaussov teorem se praktički poklapa s onim u elektrostatici, s izuzetkom samo konstanti (međutim, još uvijek ovisi o proizvoljnom izboru sustava jedinica) i, što je najvažnije, znak [7] :

gdje je g jačina gravitacijskog polja, M je gravitacijski naboj (tj. masa) unutar površine S , ρ je gustoća mase, G je Newtonova konstanta .

Tumačenja

U smislu linija sile

Gaussov teorem se može protumačiti u smislu linija polja [8] na sljedeći način:

  1. Tok polja kroz površinu je [9] broj linija sile koje prodiru kroz ovu površinu. U ovom slučaju se uzima u obzir smjer - linije sile koje prodiru u površinu u suprotnom smjeru smatraju se predznakom minus.
  2. Linije sile počinju ili završavaju samo na nabojima (počinju pozitivnim, završavaju negativnim), ili još uvijek mogu ići u beskonačnost. Broj linija sile koje proizlaze iz naboja (koji počinju u njemu) jednak je [10] vrijednosti ovog naboja (ovo je definicija naboja u ovom modelu). Za negativne naboje sve je isto, samo je naboj jednak minus broju linija uključenih u njega (koji završavaju na njemu).
  3. Na temelju ove dvije odredbe, Gaussov teorem čini se očitim u svojoj formulaciji: broj linija koje izlaze iz zatvorene površine jednak je ukupnom broju naboja unutar nje - odnosno broju linija koje su se pojavile unutar nje . Naravno, uzimanje u obzir znakova se podrazumijeva, posebno, linija koja je započela unutar površine na pozitivnom naboju može završiti na negativnom naboju također unutar nje (ako postoji), tada neće doprinijeti protoku kroz ova površina, od ili čak prije nego što ne dosegne, ili napusti, a zatim ulazi natrag (ili, općenito govoreći, siječe površinu paran broj puta jednako u naprijed i suprotnom smjeru), što, kada se zbroji uzimajući u obzir znak, doprinijet će nuli toku. Isto se može reći i za linije koje počinju i završavaju izvan određene površine - iz istog razloga, one će također dati nulti doprinos protoku kroz nju.

U smislu strujanja nestlačive tekućine

Gaussov teorem vrijedi za polje brzina nestlačivog fluida. Ova činjenica omogućuje korištenje protoka nestlačivog fluida kao analogije (formalni model) koji omogućuje razjašnjavanje njegovog značenja i vizualno predstavljanje njegovog matematičkog sadržaja. [jedanaest]

Čak je i sama terminologija vektorske analize korištena u elektrodinamici (a posebno u formulaciji Gaussova teorema) nastala je gotovo u potpunosti pod utjecajem ove analogije. Dovoljno je istaknuti pojmove kao što su izvor polja (u odnosu na naboj) ili tok kroz površinu, koji potpuno i točno odgovaraju u razmatranoj analogiji pojmovima:

  • izvor tekućine (u smislu mjesta na kojem se tekućina javlja i kvantitativne mjere njezine pojave - volumena koji se javlja u jedinici vremena),
  • protok (u smislu količine tekućine koja prolazi kroz površinu u jedinici vremena).

U smislu strujanja nestlačivog fluida, Gaussov teorem je formuliran na sljedeći način: Protok fluida koji izlazi iz zatvorene površine jednak je zbroju izvora koji se nalaze unutar te površine . Ili, formalnije: Protok vektora brzine tekućine kroz zatvorenu površinu jednak je zbroju izvora koji se nalaze unutar ove površine . (U biti, ovo je integralna verzija jednadžbe kontinuiteta za nestlačivu tekućinu, koja izražava očuvanje mase tekućine, uzimajući u obzir konstantnost njezine gustoće).

U ovoj formalnoj analogiji, jakost polja je zamijenjena brzinom protoka tekućine, a naboj je zamijenjen izvorom tekućine (negativni naboj je zamijenjen "negativnim izvorom" - "drenom").

Gaussov teorem kao definicija naboja

Gaussov teorem [12] može se promatrati kao definicija (vrijednost) naboja.

Dakle, za točkasti naboj, očito je da je tok jakosti polja kroz bilo koju površinu jednak protoku kroz malu (beskonačno malu) kuglu koja okružuje ovaj naboj. Tada se potonji (s točnošću, možda do konstantnog koeficijenta, ovisno o našem proizvoljnom izboru mjernih jedinica) može odabrati kao definicija veličine ovog naboja.

U blizini naboja (beskonačno blizu njega), njegovo vlastito polje očito daje ogroman doprinos protoku kroz beskonačno malu kuglu (budući da polje raste beskonačno sa smanjenjem udaljenosti). To znači da se ostala polja (generirana drugim nabojima) mogu zanemariti. Tada možete vidjeti da je ova definicija u skladu s uobičajenom (kroz Coulombov zakon).

U modernoj fizici općenito je prihvaćeno da je definicija kroz Gaussov zakon temeljnija (kao i sam Gaussov zakon u usporedbi s Coulombovim zakonom – vidi dolje).

Gaussov teorem i Coulombov zakon

Gaussov teorem i Coulombov zakon usko su povezani, i formalno i fizički. Postoji pojednostavljena izjava da je Gaussov teorem integralna formulacija Coulombovog zakona, ili obrnuto, da je Coulombov zakon posljedica Gaussova teorema (zakona).

Zapravo, Gaussov zakon ne može se izvesti samo iz Coulombovog zakona, budući da Coulombov zakon daje polje samo točkastog naboja. Da bi se dokazao Gaussov teorem, nije potreban samo Coulombov zakon, već i princip superpozicije [13] .

Coulombov zakon ne može se izvesti samo iz Gaussovog zakona, budući da Gaussov zakon ne sadrži podatke o simetriji električnog polja [14] . Za dokazivanje Coulombovog zakona potreban je ne samo Gaussov zakon, već i dodatna izjava (na primjer, o sfernoj simetriji polja, ili o jednakosti rotora polja s nulom).

Что из них считать постулатом, а что следствием — зависит от того, какую аксиоматизацию для электродинамики (или электростатики, если ограничиваться ею) мы выбираем; формально тот или другой выбор практически [15] равноправны, а в случае электростатики это полностью так. Таким образом, выбор того или другого в качестве основания построения теории — вопрос нашего произвольного выбора.

Впрочем, аксиоматизация через закон Гаусса имеет то преимущество, что в законе Гаусса не содержится никаких произвольных параметров (таких, как степень расстояния −2 в законе Кулона), степень расстояния в законе Кулона возникает при этом автоматически из размерности пространства.

Однако, следует сделать оговорку. Если наивно считать, что закон Кулона и теорема Гаусса эквивалентны, то можно рассуждать так: из теоремы Гаусса следует закон Кулона, из закона Кулона следуют уравнения Максвелла для случая электростатики, т.е. второе уравнение Максвелла (о равенстве нулю ротора электрического поля) следует из теоремы Гаусса и является излишним. На самом деле, при выводе закона Кулона из теоремы Гаусса (см. ниже) мы дополнительно используем сферическую симметрию поля точечного заряда, а также нам необходимо ввести принцип суперпозиции, в то время как уравнения Максвелла являются самодостаточными.

Исторически первым был эмпирически открыт закон Кулона. В этом (историческом) смысле теорема Гаусса является его следствием. Именно в связи с этим она называется теоремой, так как первоначально появилась как теорема.

Непосредственно ниже показано, как закон Кулона и закон Гаусса могут быть получены в рамках электростатики [16] друг из друга.

Закон Кулона как следствие закона Гаусса

Исходим из теоремы Гаусса, записав её в единицах системы СИ [17] , «Поток вектора напряжённости через поверхность пропорционален заряду, заключённому в эту поверхность»:

Для вывода Закона Кулона, будем рассматривать единственный точечный заряд в пределах замкнутой поверхности S , таким образом Q здесь будет величиной этого заряда.

Рассчитаем тот же поток прямым интегрированием по поверхности. Будем считать, что справедливо утверждение о сферической симметрии поля точечного заряда относительно положения заряда (Опыт показывает, что оно в точности справедливо лишь для покоящегося заряда). Из этого делаем вывод, что электрическое поле будет направлено прямо от заряда, а его величина будет одинакова для любых точек, расположенных на одинаковом расстоянии от заряда. Из этого следует, что суммарный поток будет проще всего сосчитать, если в качестве поверхности S выбрать сферу с центром в заряде. Действительно, напряжённость поля E тогда будет всюду ортогональна dS , а абсолютная величина вектора E (будем обозначать её E ) будет одинакова везде на этой сфере, и её можно будет вынести за знак интеграла. Итак:

Имеем:

Отсюда:

Осталось подставить сюда для площади сферы и разрешить уравнение относительно E .

Тогда получаем:

то есть — закон Кулона.

Теорема Гаусса как следствие закона Кулона

Элементарное доказательство

Элементарное доказательство строится на двух шагах: доказательстве теоремы для случая одного точечного заряда с использованием геометрических соображений, а затем применении принципа суперпозиции, вследствие которого теорема оказывается доказана для произвольного количества точечных зарядов (а значит и в общем случае).

Исходим из закона Кулона:

,

где — единичный вектор в направлении радиус-вектора , проведённого из заряда (куда мы поместили начало координат) в точку, где измеряется напряжённость поля , r — модуль вектора r , то есть расстояние от заряда до этой точки. (В этом параграфе будем пользоваться только системой СГС , то есть кулоновская константа равна единице. Для перехода в систему СИ достаточно просто добавить множитель. Так же и переход к любой другой системе единиц будет отличаться только кулоновской константой.)

Для одного точечного заряда внутри поверхности

Обозначим поверхность, через которую надо вычислить поток E , буквой S . Полагаем, что наш заряд q находится внутри этой поверхности.

Окружим заряд ещё одной поверхностью — сферой S 0 с центром в заряде и радиусом R 0 столь малым, что она целиком находится внутри поверхности S . Вычислим поток через S 0 :

Выберем малый (бесконечно малый, малый не только по величине, но и «компактно», то есть так, чтобы он, скажем, мог быть покрыт круговым конусом также малого телесного угла), телесный угол с вершиной в заряде.

Докажем, что поток через площадку поверхности S , вырезаемую этим телесным углом , равен потоку через площадку , вырезаемую им же из сферы S 0 . Для этого покажем, что

1. — поток через площадку , вырезаемую телесным углом из поверхности S, равен потоку через площадку вырезаемую телесным углом из любой плоскости, перпендикулярной лучам, лежащим внутри , которые при бесконечно малом телесном угле почти параллельны, отличаясь по направлению бесконечно мало, значит площадка будет одновременно перпендикулярна (говоря строже — почти перпендикулярна) всем им одновременно.
2. - в пределах телесного угла , поток через площадку, перпендикулярную лучам, равен потоку через площадку сферы .

Первое доказывается замечанием о том, что поток через малую площадку dS может быть представлен как , где — проекция вектора dS на направление вектора E , то есть площадь проекции данной площадки на плоскость, перпендикулярную E . А применительно к нашему случаю это и означает равенство и .

Второе видно из соображений подобия и закона Кулона (обозначив r расстояние от заряда до пересечения c S , видим, что отношение площадей и равно , в то время как , то есть обратному числу, в результате чего их произведения одинаковы, а это и есть потоки и , равенство которых надо было доказать.

В случае, если пересекает S неоднократно (что возможно, если последняя достаточно сложна), все эти рассуждения, если говорить коротко, повторяются столько раз, сколько пересечений имеется, и доказывается равенство по абсолютной величине потока через каждый такой элемент поверхности S . А учитывая знаки при сложении (они, очевидно, чередуются; всего же количество пересечений должно оказаться нечётным), итоговый ответ оказывается тем же, что и для случая единственного пересечения.

А поскольку равенство этих потоков выполняется для любого малого , то есть для каждого соответственного элемента S и S 0 , между которыми устанавливается однозначное соответствие, причём таким образом можно разбить всю сферу S 0 без остатка на такие элементы, то равенство верно и для потоков через полные поверхности (которые суть просто суммы потоков через описанные элементы поверхностей S и S 0 ). (Поскольку поверхность S замкнутая, каждому элементу на сфере находится соответствующий элемент на S — или нечётное количество элементов, как было описано выше, которые можно объединить, так как учтён поток через их все).

Итак, доказали, что для одного заряда q внутри замкнутой поверхности S поток через неё

Для одного точечного заряда вне поверхности

Совершенно аналогичные рассуждения, проведённые для случая, когда q находится вне области, ограничиваемой поверхностью S , с учётом знака при подсчёте потока через каждую площадку, дают в результате поток ноль. (малый телесный угол теперь пересечёт S чётное число раз, потоки будут равны по абсолютной величине, но противоположны по знаку) [18] .

Суммирование элементарных потоков производится также аналогично сделанному в пункте 1, как и их вычисление.

Итак, для одного заряда вне замкнутой поверхности поток через неё нуль .

Для любого количества зарядов

Завершающий шаг прост. Он заключается в применении принципа суперпозиции.

Если для каждого точечного заряда поле , создаваемое им (когда остальные заряды отсутствуют), создаёт через поверхность поток, удовлетворяющий теореме Гаусса (то есть для каждого заряда внутри поверхности, и 0 для каждого снаружи поверхности), то поток от суммарного поля

равен сумме потоков, создаваемых каждым зарядом при отсутствии остальных, равен просто

где суммирование производится только по зарядам внутри поверхности (каждый из тех, что снаружи, даёт вклад 0).

Теорема доказана.

Доказательство через формулу Гаусса — Остроградского

Это доказательство более формальное.

1. Исходим опять из закона Кулона (в этом параграфе будем использовать систему СГС и говорить для определённости о теореме поле E , а не D ):

2. Кулоновское поле удовлетворяет дифференциальной форме закона Гаусса:

Это можно проверить [19] прямой подстановкой [20] формулы (1) в (2).

3. Исходя из принципа суперпозиции полагаем, что поле, создаваемое многими зарядами, также удовлетворяет этому дифференциальному уравнению (попутно замечая, что уравнение это линейное, а следовательно принцип суперпозиции применим).

4. Пользуясь формулой Гаусса — Остроградского , сразу получаем:

Теорема доказана.

Применение теоремы Гаусса

Являясь, вкупе с уравнением о нулевой циркуляции электрического поля, основным полевым уравнением электростатики , теорема Гаусса вместе с выражением векторного электрического поля через его скалярный потенциал приводит к уравнению Пуассона — основному и единственному дифференциальному уравнению классической теории для электростатического потенциала .

В электродинамике теорема Гаусса (закон Гаусса) также остаётся (полностью в том же виде) одним из главных уравнений — одним из четырёх уравнений Максвелла .

В некоторых ситуациях теорема Гаусса может быть использована для прямого и лёгкого вычисления электростатического поля непосредственно. Это ситуации, когда симметрия задачи позволяет наложить на напряжённость электрического поля такие дополнительные условия, что вместе с теоремой Гаусса этого хватает для прямого элементарного вычисления (без применения двух обычных общих способов — решения уравнения в частных производных или лобового интегрирования кулоновских полей для элементарных точечных зарядов).

Именно таким способом с использованием теоремы Гаусса может быть выведен и сам закон Кулона ( см. выше ).

Конкретные примеры такого применения теоремы Гаусса разобраны ниже.

В них используются следующие величины и обозначения:

  • Объёмная плотность заряда

где — (бесконечно малый) элемент объёма,

  • Поверхностная плотность заряда

где — (бесконечно малый) элемент поверхности.

где — длина бесконечно малого отрезка. (Первая используется для зарядов, непрерывно распределённых по объёму, вторая — для распределённых по поверхности, третья — для распределённых по одномерной линии (кривой, прямой).

Расчёт напряжённости поля сферически симметричного распределения заряда

Способ расчёта с помощью теоремы Гаусса для любого сферически симметричного распределения заряда в целом сводится к тому, что описано выше для случая точечного заряда (см. параграф о законе Кулона ).

Отметим тут только в отношении неточечных источников обладающих сферической симметрией вот что (всё это является следствиями применения описанного там метода):

  1. Сферически симметричный заряд с концентрической сферической пустотой (или незаряженной областью) в середине, не создаёт внутри этой пустоты поля (напряжённость поля там равна нулю).
  2. Вообще поле на расстоянии r от центра создаётся только теми зарядами, которые находятся глубже к центру. Это поле можно рассчитать по закону Кулона: , только под Q здесь следует понимать суммарный заряд шаровой области радиусом r (а это означает, что зависимость от r в итоге отличается от кулоновской, поскольку с ростом r растет Q , по крайней мере пока r не больше радиуса всей заряженной области — если только она в свою очередь конечна).
  3. При r , больших радиуса заряженной области (если он конечен), выполняется самый обычный закон Кулона (как для точечного заряда). Это объясняет, например, почему обычный закон Кулона работает для равномерно заряженных шаров, сфер, планет со структурой близкой к сферически симметричной даже вблизи их поверхности (например, почему вблизи поверхности Земли гравитационное поле достаточно близко к полю точечной массы, сосредоточенной в центре Земли).
  4. В интересном частном случае равномерно заряженного шара, его электрическое (или гравитационное) поле оказывается внутри шара пропорциональным расстоянию до центра. [21]

Расчёт напряжённости поля бесконечной плоскости

Gausstheor.svg

Рассмотрим поле, создаваемое бесконечной однородно заряженной плоскостью с везде одинаковой поверхностной плотностью заряда . Представим себе мысленно цилиндр с образующими, перпендикулярными к заряженной плоскости, и основаниями (площадью каждое), расположенными относительно плоскости симметрично (см. рисунок).

В силу симметрии:

  1. Все векторы напряжённости поля (в том числе и ) — перпендикулярны заряженной плоскости: действительно, в силу вращательной симметрии задачи, вектор напряжённости при любом повороте относительно оси, перпендикулярной плоскости, должен переходить в себя, а это возможно для ненулевого вектора только если он перпендикулярен плоскости. Из этого следует (кроме прочего), что поток напряжённости поля через боковую поверхность цилиндра равен нулю (так как поле направлено везде по касательной к этой поверхности).
  2. .

Поток вектора напряжённости равен (в силу (1)) потоку только через основания цилиндра, а он, в силу того, что и перпендикулярны этим основаниям и в силу (2), равен просто .

Применив теорему Гаусса, и учитывая , получим (в системе СИ ):

из чего

  • В системе СГСЭ все рассуждения полностью аналогичны (с точностью до постоянных коэффициентов), а ответ записывается как

Расчёт напряжённости поля бесконечной нити

Gauss nit.svg

Рассмотрим поле, создаваемое бесконечной прямолинейной нитью с линейной плотностью заряда, равной . Пусть требуется определить напряжённость, создаваемую этим полем на расстоянии от нити. Возьмём в качестве гауссовой поверхности цилиндр с осью, совпадающей с нитью, радиусом и высотой . Тогда поток напряжённости через эту поверхность по теореме Гаусса таков (в единицах СИ ):

В силу симметрии

  1. вектор напряжённости поля направлен перпендикулярно нити, прямо от неё (или прямо к ней).
  2. модуль этого вектора в любой точке поверхности цилиндра одинаков.

Тогда поток напряжённости через эту поверхность можно рассчитать следующим образом:

Учитывается только площадь боковой поверхности цилиндра, так как поток через основания цилиндра равен нулю (вследствие направления E по касательной к ним). Приравнивая два полученных выражения для , имеем:

(В системе СГС ответ: ).

Другие задачи

Описанный способ применим и для решения некоторых других задач.

Прежде всего так же, как для сферической симметрии задачи можно рассчитать не только поле точечного заряда, но и других источников такой симметрии, так это верно и для источников цилиндрической симметрии (можно легко рассчитать поле не только бесконечной нити, но и бесконечного цилиндра — как вовне, так и внутри него, трубы итд), а также для источников двумерной трансляционной симметрии (можно рассчитать не только поле тонкой плоскости, но и, например, поле толстого плоского слоя).

Далее, подобные задачи можно решать не только для размерности пространства, равной трём, но и для большей или меньшей (в принципе, любой) размерности пространства. Это может быть важным в теоретическом плане. Например, очевидным результатом такого подхода является утверждение, что в закон Кулона в n -мерном неискривленном пространстве r входит в степени -(n-1), а локально (при небольших r ) это верно и для искривлённых пространств.

Более того, теорема Гаусса позволяет в некоторых случаях легко вычислить электростатическое (или подобное ему) поле не только в плоском пространстве, но и в пространстве с кривизной. В качестве примера можно привести задачу о нахождении аналога закона Кулона для двумерного пространства, представляющего собой поверхность сферы (решение легко находится и очевидно отличается от обычного закона Кулона) [22] .

Следствия из теоремы Гаусса

  • Следствием теоремы Гаусса является теорема Ирншоу .
  • Другим следствием из теоремы Гаусса является тот факт, что в статическом случае плотность избыточных (то есть нескомпенсированных) зарядов внутри проводника равна нулю. Избыточные заряды могут появляться только на поверхности проводника в тонком слое (в действительности, его толщина составляет примерно одно-два межатомных расстояний) [23] . Строго говоря, это верно при отсутствие других (не электростатических) сил действующими на заряды. Если эти силы (обычно их называют сторонними силами) принять во внимание — то даже внутри проводников может присутствовать электрическое поле. Например, в поле гравитации более тяжёлые ионы в растворе будут иметь бо́льшую концентрацию внизу раствора, а более лёгкие будут стремиться вверх (из-за силы Архимеда ). Возникающее чрезвычайно малое электрическое поле будет препятствовать такому гравитационному разделению зарядов. Этот эффект может быть значительным для коллоидных систем , где на одной массивной по сравнению с раствором частице присутствует небольшой заряд а другие частицы, с тем же знаком заряда, что и коллоидные частицы, отсутствуют. Также это следствие совсем неверно для микромира, где на электроны действуют квантовомеханические силы. Например в полупроводниковых солнечных фотоэлементах именно электрическое поле разделяет электроны и «дырки» попарно возникающие в ходе поглощения света ( фотодиссоциации ). Эффект Пельтье , на котором основано действие термопар — яркий пример наличия электростатического поля внутри проводника (в зоне контакта двух различных металлов) [ источник не указан 1789 дней ] .

См. также

Примечания

  1. И позволяет сделать это не только для трехмерного пространства, но и для любой размерности пространства, какая может встретиться в теории.
  2. Хотя на практике, особенно в разговорной речи, различия в употреблении этих терминов зачастую не делается.
  3. Fedosin, SG On the Covariant Representation of Integral Equations of the Electromagnetic Field (англ.) // Progress In Electromagnetics Research C : journal. — 2019. — Vol. 96 . — P. 109—122 . — doi : 10.2528/PIERC19062902 . — Bibcode : 2019arXiv191111138F . — arXiv : 1911.11138 . // О ковариантном представлении интегральных уравнений электромагнитного поля .
  4. Здесь для краткости приводим снова только в СГС .
  5. Его наличие качественно объясняется тем, что при поляризации диэлектрической среды составляющие её диполи ориентируются так, что часть из них пересекается поверхностью, и внутри неё оказываются концы диполей одинакового знака, которые и создают внутри неё дополнительный "связанный" заряд Q b .
  6. Если бы магнитные монополи существовали (или если они на самом деле существуют и будут обнаружены), приведенные уравнения имели бы вид (или должны будут принять вид):
    где — магнитный заряд (заряд магнитных монополей) и плотность магнитного заряда. Кроме прочего, ничто не запрещает рассмотреть магнитные заряды чисто формально, в духе теоремы Ампера о магнитном листке , когда это удобно для решения какой-то задачи; в этом случае поток, создаваемый формально введенными магнитными зарядами, также удовлетворяет приведенным здесь уравнениям. При этом изменится еще и уравнение Максвелла о законе электромагнитной индукции. (Приведен вид уравнений в полностью рационализированной системе единиц; в зависимости от выбора конкретной системы единиц, в правой части может возникать постоянный множитель, например в обычной гауссовой системе единиц там появится обычный для неё множитель ).
  7. Знак минус появляется из-за того, что таков и знак в законе всемирного тяготения , аналоге закона Кулона в ньютоновской теории гравитации.
  8. Такая интерпретация исторически восходит, видимо, к Фарадею.
  9. Или пропорционален ему с постоянным коэффициентом (что то же самое, так как зависит только от условной конкретизации модели).
  10. Или пропорционально, в зависимости от используемых единиц измерения и условного соглашения реализации модели.
  11. Исторически эта аналогия имела существенное значение для Максвелла и интенсивно применялась в ходе последующего развития электродинамики.
  12. Для тех теорий и полей, когда она выполняется, то есть, например, для электродинамики.
  13. "...мощную «интегральную» теорему-следствие из закона Кулона и принципа суперпозиции – теорему Гаусса." А.В. Зотеев, А.А. Склянкин. Лекции по курсу общей физики. Механика. Электричество и магнетизм. Учебное пособие. – Издательство МГУ им. М.В.Ломоносова, филиал МГУ в г. Баку, 2014. – 242 с. Цитата на с.99
  14. "Другими словами, один закон Гаусса не является достаточным условием симметрии поля точечного источника, подразумеваемого в законе Кулона" Парселл Э. Берклеевский курс физики (в 5 томах). Т.2: Электричество и магнетизм. Пер. с англ. Т.2. 1971. 448 с. Примечание на с.42
  15. Аксиоматизация электродинамики, в которой первичным выступает закон Кулона позволяет получить вывод о верности уравнений Максвелла — и теоремы Гаусса в том числе — для равномерных движений зарядов, но требует дополнительного постулата о распространении этих уравнений на случай ускоренных движений, обратный же переход от уравнений Максвелла к закону Кулона не требует дополнительных предположений. В этом смысле эти два вида аксиоматизации не совсем симметричны (а закон Кулона выступает в совокупности с несколькими дополнительными постулатами), что, впрочем, не делает эти аксиоматизации неэквивалентными.
  16. Тут надо ограничиться рамками электростатики по той причине, что закон Кулона как таковой имеет место только в её рамках.
  17. Это представляется для данного параграфа методически более подходящим для данного параграфа, чем, скажем, использовать нерационализированную СГС .
  18. В результате сфера S 0 в этом случае даже не понадобится.
  19. Догадаться о том, что уравнение должно быть именно таким, можно, например, из аналогии с течением жидкости. Правда, такая аналогия сразу доказывает и всю теорему, но это доказательство теряет математические детали, которые нам бы хотелось проследить, поэтому мы ограничиваемся использованием этой аналогии только в качестве эвристической подсказки (если нас вообще интересует этот вопрос; иначе достаточно просто вычислительной проверки, о которой говорится в основном тексте).
  20. Например, расписав выражение (1) для закона Кулона явно в декартовых координатах — после чего осталось только взять производные по x , y и z и их сложить.
  21. Это поле можно при желании померить, если в шаре есть тонкий колодец или если шар жидкий — тогда в него легко проникнуть. Таким образом, на тело внутри такого шара действует сила как в гармоническом осцилляторе , а если шар жидкий, то есть не мешает свободному движению пробного тела в любом направлении, то имеем трехмерный гармонический осциллятор.
  22. Может показаться, что последняя задача чисто абстрактна, однако на самом деле она легко реализуется практически: достаточно взять тонкий сферических слой проводящей жидкости — например, между изолирующими сферическими стенками — или просто мыльный пузырь; электрическое поле в таком слое будет соответствовать описанной ситуации. Можно также рассмотреть магнитное поле в тонком сферическом пустом слое, заключенном между концентрическими сверхпроводящими стенками, такая система реализует описанную задачу уже для магнитного поля.
  23. И. Е. Иродов. Электромагнетизм: основные законы. — 7-е изд.. — М. : Бином. Лаборатория знаний., 2009. — С. 46—47.

Литература

  • Матвеев А. Н. Электричество и магнетизм: Учебное пособие. — М.: Высшая школа, 1983. — 463 с, ил. и более поздние издания.
  • Сивухин Д. В. Общий курс физики. — М. . — Т. III. Электричество. — §§ 5 — 8, 13, 53.